编 :邵丽云           

   辑 :高一数学组全体教师

   作 :王 

 

 

 

 

 

 

本期导读:

卷首语

Ø         卷首语

 

校长寄语

Ø         校长寄语

 

特邀讲座

Ø         送给高中学生之一——初高中数学衔接

朱强老师

学法指导

Ø         与高一同学谈高中数学学习

邵丽云老师

数学小研究

 

 

Ë       关于集合的运算律

高一20  刘怡然

Ë       空集为什么是任意集合的子集

高一19   

Ë       空集不“空”

高一20   

Ë       小议集合在学习与生活中的地位

高一19  于潘龙

Ë       元素可以决定一切

高一16  张文硕

Ë       DON`T FORGET

高一16   

成长笔记

 

 

*         我眼中的集合

高一20   

*         集合的奥秘

高一19  王行毅

*         我眼中的“集合”

高一20  高菁雅

*         集合漫谈

高一20   

*         集合运算中的解题思想——数形结合和类讨论

高一16  谷天龙

星光大道

Ø         学生优秀笔记、作业、试卷展示

 

数学史话

 

 

l         历史上的三次数学危机

胡志明老师

l         希尔伯特

高一4  王英琦

l         康托尔与他的集合

高一19班 罗雨飞、赵坤年

l         集合 · 罗素悖论

高一19班 刘天骄

l         圆周率小故事  ——巧记圆周率30

高一14班 张宝晨

数学迪斯尼

 

 

ü         猪八戒故事

邵丽云老师

ü         最大和最小——一道数学趣题

高一16班 刘 

迷你考场

Ø         《集合》部分精致题目

高桂珍老师

你问我答

Ø         《集合》部分征解

 

数学贴吧

 

 

Ë       与集合交朋友

高一16班 任晓彤

Ë       智慧的结晶——集合

高一16班 于婷婷

Ë       数独游戏

高一4  李颖雅

竞赛园地

Ø         数学竞赛介绍

  虎老师

征稿启事

 

 

编辑部的故事

 

 

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特邀讲座

送给高中学生之一

               ——初高中数学的衔接

山东省实验中学 朱强老师供稿

经过紧张的中考,暑期之后你就要迎接紧张充实的高中生活。为了迎接高中的数学学习应该做些什么?良好的开端是成功的一半。我们今天主要谈一下从初中到高中的数学学科的衔接问题。很多同学还没有接触高中知识,我们既不谈那一个个知识点,也不谈那一个个大家耳熟能详的学习方法,主要讲讲为什么要做好衔接以及从精神上、认识上如何去准备。 

    一、为何要做好初高中衔接?

从初中升入高中,大家普遍觉得上升了一个门槛。教学实践证明,踏好这个门槛,实现这个转折确实需要衔接。其原因是:

1.环境的改变对学生有影响。初中学校与高中学校的教学理念不完全相同,学校之间的差异或大或小,高一新生来自不同的学校,差异性较大。大家熟悉以前的校园、以前的人际关系、以前的各项规章制度及纪律要求。但进入新校园后,校园环境不同了,同学不同了,新学校有新学校的规章制度及具体纪律要求。对于这些变化,要使学生尽快融入新的集体、新的学校,这就必须做好衔接工作。对高一新生来讲,各方面可以说是全新的,新的同学、新的老师、新的管理措施与教育理念……学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。另外,经过紧张的中考复习,考取了自己理想的高中,必有些学生产生“松口气”想法,如初三辛苦了,在高一休息一下,待高二认真一些、高三冲刺,使得高中入学后无紧迫感。也有些学生有畏惧心理,他们在入学前,就比较头疼数学,高中数学课一开始也确是些难理解的抽象概念,如映射、函数、立体几何等,使他们从开始就处于怵头无趣的被动局面。一些原来在初中是班级的佼佼者、教师的宠儿的学生,或者是中上等的学生。进入高中后发现自己没有优势可言。随着所处地位的改变和课程负担的加重等原因,可能出现适应不了新的学习环境,心理出现了极大的反差,所以不可避免地出现困惑、失落、焦虑、胆怯等不良心理现象。

2.初中与高中在思维方式上差异较大。相对初中的学习,高中的知识内容与知识结构与初中相比出现了两个飞跃:从具体到抽象、由特殊到一般。在知识的广度和深度上都大大提高。在能力方面,高中的学习对同学们提出了更高的要求,如抽象思维能力、逻辑思维能力、分析综合能力、自学能力等,而且高考命题强调能力立意,这就更加强化能力培养。在高中数学语言更加抽象。初中数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达,而高一数学一下子就触及抽象的集合符号语言、函数语言等,一下子难以互相转化。

3.教材结构不同,知识跨度大。初中数学教材内容通俗具体,变量也不多,题型少而简单;而高中数学内容抽象,多研究变量、字母,不仅注重计算,而且还注重理论分析,这与初中相比增加了难度。初中课改教材很多内容作了改变,有的内容在对学生的要求上大大降低要求,体现了“浅、少、易”的特点,但是高中还认为学生在初中熟练掌握了。随着近几年新教材内容的调整,虽然初高中教材都降低了难度,但相比之下,初中降低的幅度大,而高中由于受高考的限制,教师还不敢降低难度,造成了高中数学实际难度没有降低。因此,从一定意义上讲,调整后的新教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距,反而加大了。初中比较注重基础,常识性的介绍较多;高中知识则强调逻辑性、系统性、研究性,越来越接近科学体系,难度相应地增大、加深。

4.课时和学法的变化。在初中,由于内容少,题型简单,课时较充足。因此,课容量小,进度慢,对重难点内容均有充足时间反复强调,对各类习题的解法,教师有时间进行举例示范,学生也有足够时间进行巩固。而到高中,由于知识点增多,灵活性加大和新课时要求的实行,使课时减少,课容量增大,进度加快,对重难点内容没有更多的时间强调,对所有型题也不可能讲全讲细和巩固强化,主要讲通性通法。这也使高一新生开始不适应高中学习而影响成绩的提高。这一点对数学的冲击最大。新课改之后,有的学校数学课相对而言就少了很多,我了解得很多学校就是每周5节,也就是一天一节。当然也有多的,达到了11节。而且学习上学时玩得多了,中午、课外活动都去玩了,放在学习上的精力明显会少很多。在初中,知识点相对而言比较少,教师讲得细,有足够的时间练习,考试时,学生只要记准概念、公式、典型例题,一般都能熟练应答取得不错的成绩。今年中考数学考试时我正好监考,两个小时的时间很多同学在一个小时的时候就只剩下最后一个大题,在高考时这几乎是不可能的,在一个小时内学生完成前两个大题就算好的了,也就是说至少还剩四个大题。因此,初中时学生习惯于围着教师转,因为即使不独立思考、不归纳总结,老师也会一再强调直到你做熟练为止。到了高中,由于内容多时间少,教师不可能把知识应用形式和题型讲全讲细,只能选讲一些具有典型性的题目,以落实“三基”培养能力,有的地方说“双基”,这里就不争论了。这就导致在以前好几天学习一个知识点,一个题型翻来复去的作很多遍;在高中就变成了一天学习好几个知识点,有的题型做到两三遍就已经是很重要的题型了。因此,高中数学学习要求学生要勤于思考,善于归纳总结规律,掌握数学思想方法,做到举一反三,触类旁通。但是刚入学的高一新生,往往继续沿用初中的学法,还在“等”、“靠”老师总结、老师布置相应的练习一一对应那些知识点去练,致使学习困难较多,个别同学完成当天作业都比较困难,更没有预习、复习及总结等自我消化自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。

 

那么,如何走好“学习”衔接这一步,显得最为重要了。

二、如何做好初高中衔接?

初高中衔接措施很多,但归纳起来,可从两个方面思考:

1.从思想上:增强紧迫感,消除松懈情绪。不要等到高三再努力,一开始就要蹦紧学习这根弦。首先,培养自觉性。兴趣是最好的老师,初高中衔接,提高学科兴趣是第一步。不要被以前的成绩绊住了自己的脚步,不管是成绩好的还是不理想的,把自己当成一张白纸,从新规划。

2. 从学习上:

1重视新旧知识的联系与区别。每年新高一开头的几节课,数学老师间的都比较别扭,在讲授新知识时,一些原本应该在初中掌握的知识点,发现学生大多只掌握了很浅显的内容,稍微深一些的内容,学生就说没有学过。有的高中必备知识、公式,以前初中应该教,高中默认你已经熟练掌握的知识,有的学生却没有一点概念。还有的知识一部分学生学过,一部分听说过,还有根本么听过的。有的老师就说“今年中考成绩600多分的学生,教起来还不如过去500多分的学生”。学生学得吃力,教师也教得吃力,这几乎是老师们的共同感受。一些老师不得不对这些新生补习与高中教材相对应的初中老教材,有时补课就要占去很多的课堂时间。为了不落下高中新课程,只得赶进度,学生学得吃力,很多问题还没搞明白,又要上新课了。“不仅初中知识没能掌握,高中知识的学习也因此受到影响”。这就要求最好在开学前对这部分初高中衔接过程中必备的知识自己先有所了解并将它强化。初高中数学有很多衔接知识点,如函数概念、平面几何与立体几何相关知识等,到高中,它们有的加深了,有的研究范围扩大了,有些在初中成立的结论到高中可能会有所变化。因此,联系旧知识,复习和区别旧知识,特别注重对那些易错易混的知识加以分析、比较和区别。这样可达到温故知新、温故而探新的效果。

2)重视展示知识的形成过程和方法探索过程,培养创造能力。高中数学较初中抽象性强,应用灵活,这就要求学生对知识理解要透,应用要活,不能只停留在对知识结论的死记硬套上,要有质疑和解疑的思想,促进创造性思维能力的提高。碰到比较难理解的地方,一是反复多看,二是放一点时间在回过来看。以前学习遇到的难点,现在看起来可能就很简单了,小学的数学题你现在就不屑于做了。尽量缩短理解的过程,比如函数,两三天理解了还行,两三个星期再理解基本概念,那落下的就很多了。定义域、值域、求解析式、单调性、奇偶性、图象的变换一堆东西都学过去了。

3)重视培养自我反思自我总结的良好习惯,高中数学概括性强,题目灵活多变,只靠课上听懂是不够的,需要课后进行认真消化,认真总结归纳。培养好的学习习惯:预习、听讲、作业、总结这些每天做好就是了。这就要求学生应具备善于自我反思和自我总结的能力。在解题后,积极反思:思解题思路和步骤,思解题方法和解题规律的总结。在单元结束时,进行自我章节小结,形成自己的知识网络。每天晚上回顾一遍即可,每星期,每月都要对自己学过的知识作一个系统的梳理。

 

总的来说,要想使初中到高中有一个理想的衔接,就是要提高自己的能力。能做好开学时对自己心理和知识上的准备,学习时认真,学习后做到及时归纳整理就一定会取得理想的成绩。

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学法指导

与高一同学谈高中数学学习

山东省实验中学  邵丽云

首先,祝贺同学们经过自己的努力进入高中阶段的学习。如何尽快地适应高中数学的学习,如何学好高中数学,想必同学们经过一周的学习已经有了一定的认识。下面我仅老师的角度也综合了其他老师的经验,谈谈对高中数学学习的看法,希望能对大家有一点帮助。

如何才能学好高中数学,良好的学习习惯与适当的学习方法是学好数学的关键。良好习惯的养成要靠同学们平时点点滴滴的积累、坚持。下面提几点点建议:

一、对所学的知识要能做到“三清”,“四行”,“五心”。

三清——天天清,周周清,月月清。

——课后要认真整理笔记,做到天天清:重点在四个方面下功夫。一是基础知识的整理和记忆,二是典型例题的分析和解答,三是思想方法的小结和反思,四是课外作业的完成和自查。

——加强知识复习,做到周月清:重点从两个方面去复习落实。一是梳理,就是在理解的基础上进行知识梳理,也就是进行阶段的复习和小结。建议自己构建知识网络,回忆知识重点,巩固自己认为的难点,二次订正作业和试卷中的错误,总结积累学习经验,争取“由厚到薄,由薄到厚”。二是精练。数学是练出来的。不加强训练,特别是基本的训练,就无法形成熟练的技能和技巧,加强训练主要是同学们自己练,主动地练,就会感到练习的乐趣。即使题目多一点,也不至于认为是负担;否则,自己被动地练,只是将练习作为任务来完成,题目量再少,也会感到是很重的负担。有人说低级休闲听音乐、看小说、玩游戏,高级休闲动脑筋、解数学题。

四行——要行动,勤于读,问,思,悟。

——思,就是用“心”去考虑自己的“田”。要思考你的数学的这块“田地”里要“种”些什么,要怎样“种”,“种”的兴趣有没有,没有怎么办,有怎样保持。提倡有问题先思考,后提问。只有认真思考,才会有真正的能力提高。

——就是进“门”以后开“口”。建议同学们经常到老师办公室去开口说话,不懂就问,敢于质疑。提倡同学之间的互相讨论,能把自己做会的题讲给别人听懂,这才算真懂。教学相长,共同提高。

——,就是花“十”倍的钱“买”别人的“言”。所以,同学们要学会阅读课本,阅读数学杂志和趣味数学专著,经常到图书馆查阅数学学习资料。基础好的同学还可以读一些数学竞赛方面的书籍,做一些高考或竞赛题目。也建议开展数学小研究,写一些数学小论文。这些能力正是我们将来需要的。

——就是用“自己”(吾)的“心”去体验,去体会,去琢磨和钻研。学数学需要“悟”,通过自己的思、问、做、读、反思感悟所学知识。

五心——信心,决心,恒心,静心,细心

信心——树立学习的信心对同学们来说总是最重要的,要相信自己能学好数学。今天所学的知识就是明天的基础。明天学习的知识就是后天的基础。所以要学好每一天的内容,那么你打的基础就是最扎实的了。当然,要承认个人的基础有差别,学习成绩总会有差别。建议大家多比学习的刻苦和勤奋程度,比谁的进步大,特别是与自己的过去比。如果在自己原有的基础上得到了最大限度的提高,学习就是成功的,就可以增强信心。

决心——要有学好数学的决心,这是一个人意志力高低的一个重要方面。有了信心,还必须下决心学好。坚决完成好每一天和每一阶段的学习任务。对每一个章节和单元的基本概念、定理(包括原理、公式、性质、法则)和基本数学思想方法,都要通过反复思考和运用,直到深刻理解,这样才可能在理解的基础上牢固记忆和融会贯通。

恒心——学习一定要有恒心。对数学学习尤为重要。因为数学前后连贯性很强,前面的没有学好,后续内容很难学好。所以,无论什么时候,都不能间断学习,否则要进行补课,才不会掉队。学习上重要的一点,就是要不断积累和善于积累,只有持之以恒才能做到这一点,才会有成效。

静心——提高学习效果,提倡一个“静”字。学习一定要专心致志,不能浮躁。学就学好,玩就尽兴。心思要集中在学习上,在思考和感悟上,在反省和改进上。心静体现在听课上,体现在作业上,体现在练习上,作业的乱、七八糟,心气浮躁的表现。

细心——数学是精确的。数学抽象的概念、严密的思维、严谨的论证、精巧的运算,都需要细心。作业中哪怕错一个数字或一个符号,都不能放过,更不要说其它的失误了。一旦有问题,一定要马上解决。经常出错的,要总结教训,掌握出错规律,今后细心从事,防止出“二次错”。

二、学会听课的四环节——预、听、复、练

预——课前预习找难点。

怎样预习呢?可以自己在上课之前把内容先看一边,把自己不懂的地方做个记号或者打个问号,在上课的时候重点听,这样才能够很快提高自己的水平。但是预习不是很随便的把课本看一边,预习有个目标,那就是通过预习可以把书本后面的练习题可以自己独立的完成。以往学习程度好的同学预习就已经有好几个层次了,先是课本,再是练习,再是高考题典,上课对于他们来说是第一轮高考复习。

听——上课听讲抓关键。

如何听课呢?学而不思则罔,思而不学则殆。听课时要动脑思考、动手演算、动手实验、动手笔记。以听、思为主,笔记为辅。上课的时候要准备二本,一本笔记本、一本草稿本。做不做笔记自己决定,不过有一点,有些知识点比较重要,课本上又没有的,最好把它写笔记本上或在课本上的相应的空白地方。还有,如果你觉得某个例题比较新或者比较重要,也可以把它记在笔记本上,这样以后复习起来就一目了然了。笔记本也可以作为自己的问题集。把平时自己不懂的和不大理解的还有易错的记录下来,并且要及时的消化,不懂的地方问同学、问老师。到考试的时候就可以有重点、有针对性的自己复习了。那么,草稿本要来干什么的呢?课堂上我们可以自己演算还有做课堂练习。

复——课后复习摸规律。

课后复习一般要整理笔记、小结本节课内容,完成作业。有问题不过夜。有问题先思考,后问。接下来及时搞明白,明天还有新问题。要与遗忘作斗争。要及时温故知新,要通过变式复习把遗忘的、不懂的问题搞懂。学会归类做题。做题要先举三反一,再举一反三,这才算真懂。学会自知。题目做完药能自我评判,自己知道正确与否,这是提升自己思维能力的有效途径。

以上几个环节,力求通过思考达到深刻理解,通过整理形成结构。通过复习加强记忆,通过练习解决问题。

关于作业。绝对不允许抄作业。数学是抄不会的。那有人会问,碰到不会做的题目怎么办?有两个办法:向同学老师请教,请教做题目的思路,而不是整个过程和答案。作业要认真,规范,准确。一般要求

① 作业做在课本的练习部分上,同时预备一个课外作业本;

② 一律用钢笔或蓝黑圆珠笔书写,用铅笔、尺规作图,书写规范;

③ 墨迹、错误用橡皮擦擦干净,作业本整洁;

④ 作业中错误要自觉订正,可用红笔在一旁订正或订正的解答单独用活页纸,要注明题号;

⑤其余练习册同步完成,按进度交阅,自觉订正;

学过的知识只有应用才能够掌握的牢固。独立练习、定时练习、考试与测验都要认真对待。独立练习(考试与测验)一般要求:

①提前5分钟到教室,准备必要的文具(蓝黑钢笔圆珠笔、直尺三角板圆规、计算器、橡皮擦等)和草稿纸(最好是没有条纹的白纸),桌面收拾干净,文具和草稿纸摆放整齐。

②接卷后浏览全卷,检查试卷是否有缺页、缺题和印刷模糊、错误等问题,有问题要及时举手询问。

③开始答题前写好班级学号和姓名。

④认真审题,冷静作答。答题后若有多余时间,要认真检查,一般不提前交卷。

⑤遵守时间,不迟到,自觉独立完成,不舞弊,不拖延交卷

好的开始是成功的一半,相信同学们在新的学期里,都会有一个很好的收获。播种一种思想,收获一种行为;播种一种行为,收获一种习惯;播种一种习惯,收获一种性格;播种一种性格,收获一种命运。

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数学小研究

关于集合的运算律

山东省实验中学 高一20班 刘怡然

 

学完了《集合》一章,感触颇多,特别是集合的远算部分更让我觉得大有延伸、探索的空间。综合课堂上学的和网上查到的资料,想在这里做一个总体的概述。

一些数字的运算定律在集合中也适用。

首先是交换律。

在加法和乘法中,

在集合中也是一样,

这好像没什么说的。

值得一提的是结合律,

在数字运算中,

同样,在集合中,

更有意思的是分配律,

在数字运算中,

在集合中,

真的是很神奇----集合与数,截然不同的两个概念,竟然有如此之多的共性,有如此之多的法则可在它们之间穿梭、通用。数学的确是一门有研究价值的科学。

但进一步的探索与研究表明,这些通用的法则不仅限于集合与数之间。所有的数学板块几乎都是相通的,而这些穿梭自如的法则甚至还体现在生活的方方面面。

“容斥原理”是每个人在小学就接触到的内容,大概意思是讲班里有多少多少人爱踢足球,有多少多少人爱打篮球,最后又告诉了班里人员的总数,问有多少人既爱踢足球又爱打篮球。这当然是最简单的类型题,它还可以演变成许许多多复杂的题型,但是原理只有一个。但就是这种与算术与生活密切相关的原理,在集合中同样适用。我们用来表示集合A中的元素的个数。则

这就是容斥原理在集合中的体现。

还有一个原理大家可能不太熟悉,叫做吸收原理:

数学就是这样一门神秘的科学。它被分割成很多个板块,板块与板块之间却有着无穷无尽的神秘的关联。在这貌似是巧合的外表下,隐藏着怎样惊天动地的秘密?在整个数学系统的诸多板块下,又暗藏着怎样不为人知的规律?一切谜底等待着我们去揭晓。

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为什么空集是任意集合的子集

山东省实验中学 高一19 徐曼

如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集。

可是空集中没有元素,那么为什么规定:空集是任意集合的子集?这样的规定正确吗?怎样证明呢?

方法一:反证法

证明:假设存在集合A,使得空集不是集合A的子集,那么存在,使得。这与“空集是不含有任何元素的集合”的定义相矛盾。

也就是说如果有集合A不包含空集,则存在。显然与空集的定义矛盾。

从而,空集是任意集合的子集。

方法二:

若集合A是集合B的子集,则集合A中任意一个元素都属于集合B,也就是说:集合A中不存在不属于集合B的元素。空集是没有任何元素的集合,所以在空集中不存在不属于任意集合A的元素,即空集是任意集合的子集。

综上所述,空集是任意集合的子集是正确的结论。

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空集不“空”

山东省实验中学 高一20班 孙晶

    在集合的大家庭里,有一个重要的成员——空集。空集的定义是不含任何元素的集合。空集没有任何元素,而且又被称为空集,那空集空吗?我的回答是:不。

    一、空集虽然没有内部的元素,但他却有集合的外衣。就像是一个装着元素的袋子,袋子里虽是空的,而袋子是存在的。所以{Ø}这个符号并不奇怪,我们可以把它想象成是一个元素为集合外衣的集合,所以这个集合是有元素的,因而Ø{Ø}

    二、空集其实并不像白纸那样明了,在空集身上的陷阱一点也不少。空集不含任何元素,却将它归为有限集的行列当中。空集是任意集合的子集,按子集的定义是:每个属于Ø的元素都在集合A中,虽然Ø中没有元素,因而这条性质显得没有意义。但从另一个角度来说,Ø中没有一个元素不在集合A中,所以也可以说空集是任何集合的子集了。这条性质的应用十分广泛,在做任何关于集合的题目时,都要谨防空集的出现。

   例如下面这个题:

    若集合A={x|x²-2x-15=0},B={x|ax-3=0},AB=B,求实数a组成的集合C

   错解:由A={x|x²-2x-15=0},

        解得A={-3,5}.

    因为AB=B,所以B包含于A

    从而B={-3}B={5}

    B={-3},

    a×(-3)-3=0,解的a=-1;

    B={5},

    a×5-3=0,解的a=3/5.

   故由实数a组成的集合 C={-1,5}.

剖析:因为任何集合都有AØ=Ø,所以错解又忽视了B=Ø时的情况。

  正解:由A={x|x²-2x-15=0},

       解得A={-3,5}.

      BØ,

       因为AB=B,所以B包含于A,

       从而B={-3}B={5}

       B={-3},

       a×(-3)-3=0,解的a=-1;

       B={5},

       a×5-3=0,解的a=3/5.

     B=Ø,

       ax-3=0无实数根,解得a=0

    所以,实数a组成的集合C={-103/5}

   这个题中空集的存在常常被忘掉,因此要小心空集设下的陷阱。

   综上所述,空集并不像其名字那样空空如也,反而,它的内容丰富多彩。这些内容只有真正与空集接触时,感受才最真切。空集的奥妙无穷多,等待着更多人来挖掘。

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小议集合在学习与生活中的地位

山东省实验中学 高一19班 于潘龙

作为一门工具学科,数学,已越来越被当代人所研究、深化探索。而集合———这个被设在高中数学必修1第一节的课程内容无疑成了整个数学学科学习的基础……

那么,学习集合对于整个高中数学又有哪些具体影响呢?我认为:

第一,在高中数学里,集合是相对简单的一部分,对于刚上高一的我们来说,集合的学习无疑了承接初高中学习的转折点。

其次,学习集合能够更加完善我们的逻辑思维。比如在讲到112集合的表示方法时,其中的特征性质描述法便非常能够培养人的逻辑能力。特征性质描述法,顾名思义,就是将属于某一集合的任意元素都具有的性质用数学语言描述出来。而寻找这种特例则需要严密的逻辑思维能力。比如说这样一道题“除以32的整数的全体”用特征性质描述法便如下所示:

{x|x=3n+2xz}

其中,我们既要考虑它是除以3能够余2的一个数,又要考虑它是一个整数,并且还要将其按照顺序记下来,并不忘加上左右两端的花括号……如此一来,确实能够锻炼我们的逻辑思维。而学习数学,乃至理科,都离不开这样一种思维能力。换言说,这其实是一种学习数学所应有的思想,这种数学思想会帮助我们解决很多难题。

但是,数学又绝不仅仅是一门理论学科这样简单。在现实生活中,特别是在日新月异的现代社会,集合有着更广泛的运用。比方说近期圆满结束的第29届奥运会,由于各代表团来自不同地区,所以要分别为他们准备餐厅;要统计参加各大项比赛的运动员,教练员和裁判员有多少,分别为他们准备交通工具……为了组织、安排好各项比赛,组委会还要统计参加每个小项目的运动员人数和名单。有的项目,例如羽毛球比赛,除了男、女单打,还有男双、女双、混双等,有的运动员要参加其中的两项甚至三项比赛,于是整理这些资料便成了一件麻烦事。学好集合,分类整理这些资料,你会发现原来这些问题都能迎刃而解。

这便是我对高中数学集合这一章节的一点拙见,未来,我会努力学习集合,将自己提高到一个新的水平,为今后学习高等数学搭建稳固的平台。

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元素可以决定一切

山东省实验中学高一16  张文硕

  其实课本上所给予的“把一些能够确定的对象看成一个整体,就是说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。”有关集合的概念只是给出了对于集合描述性的说明,而其实集合是数学中最原始的不定义概念。而也正是由于对于集合的这种描述性的说明,从而使得元素可以决定集合的一切。

  首先集合的产生或准确必须由元素的确定性、互异性决定。如果元素不能满足这两条,那麽集合是不存在或是不准确的。

  而元素的个数的多少及元素所具有的性质或归属类别才产生集合中的有限集、无限集、空集或是R,Q,Z,N等集合,才是我们能够对这些集合区分辨别;也正是某些元素具有一定的相同或不同性质,我们才能通过描述法确定集合,或通过列举法列出的集合元素确定这个集合特有的特征性质。

  而对于集合间的关系,元素是直接影响因素。正是由于两集合中元素的相等或不同,范围的大小及对应的特征性质,才产生两集合间由元素作媒介得出的包含或被包含关系,子集或真子集的不同。正因此,在做关于集合间从属关系问题的时候,元素的求解,对其特征性质的分析比较和对应子集的关系的分析是不可缺少的。

  集合运算与元素仍密不可分。因为集合的交、并、补集就是由元素对集合的从属关系而决定的。例如:A∩B=﹛x|x∈A且x∈B﹜;A∪B=﹛x|x∈A或x∈B﹜。而且元素对于集合的运算来说是最直观、简单的表达。所以做对于集合运算或求解集合特征性质中除x外的未知系数或常数时,已知的交、并、补集中的元素归属的分析及结果将直接帮助我们得到答案或进行分类讨论。

  当然元素可以决定一切不只是在于数学中。在生活中,社会就需要由公民这个元素组成,而公民的素质将直接影响社会这个集合。所以元素是集合的基本组成,也是集合的中心,元素可以决定一切。

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DON`T FORGET

山东省实验中学高一16   安源

第一次见到空集,就像小学见到了0,从那以后多少次与“0”相遇,多少次因“0”而马失前蹄,今天我们遇到了,感到抽象而难以捉摸,在应用中很容易出错,那么我们怎样避免因带来的不必要失误呢?且听我慢慢道来……

一、 空集的概念及性质

不含任何元素的集合叫空集,那么你会不会认为空集就是空的,就是没有?认为?那是不对的,实际上这里是没有元素,而不是集合哦(囧~)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在集合{}中,既可填,又可填

二、空集性质的应用

空集是一个特殊的重要集合,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,显然空集与任何集合的交集是空集,当题设中隐含有空集参与的情况下,大家可要注意啦!

For example

已知集合,且。求实数p的范围。

分析:因为,所以解题时要注意B是否等于

解:(1)当B=时,BA,得

2)当B时,BA,方程存在两个正实根

由维达定理, Δ≥0,0<p0.25

综合(1)(2),p的取值范围是p>0.

    所以啊,吃一堑,长一智,如果你小学常因“0而抱头痛哭的话,那么现在可要留心喽~

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成长笔记

我眼中的集合

山东省实验中学 高一20  李政

书上这样说过集合是高中数学的起始单元,集合思想在高中很多的章节如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都有被广泛使用。可以见得集合概念在高中数学学习的重要性。

也许是提前预习的原因,自己已经对集合有了一定的认识,越来的的发现集合概念和出初中所学的知识在某种角度有着不同的感觉。

集合已经完全的打破了有来的数的概念,它所包含的不仅仅是所谓数字,覆盖的面积已经深入生活的方方面面,能看到的,听到的,触及到的等等都会在有形或是无形中涉及到有关集合的问题。这也在潜意识中告诉我们数学不仅仅是数字这么简单,它已经联系到我们的日常生活。

书上的集合的定义:集合是由一些能够确定的的不同的对象构成的一个整体。其实我认为集合是一些我们能够确定的在某种角度上具有相似性的却又不完全相同的对象所构成的总体。集合中包含的各个元素都有着些相同的共性,同样也存在着个性的。所以说集合只是为了人们方便去整理具有相似性的东西而去规定的概念。

在通过对集合的学习中,发现集合中的元素已经在某种角度被认为成为一种抽象性的概念,而不再属于它本身所代表的意义,如{235814}这个集合,其中的“235814它们所代表的不再是数字,而是某种抽象概念上存在的个体,所以它们在某种含义上所代表的意思是相同的。甚至我们可以说在两个不同的集合中的元素在某种意义上说它们也是相同的,因为它们只是人类为了方便而制定的一种抽象概念。

集合之间的关系所说的只是在说明两个或是多个集合中所包含的全体元素(或是说个体)之间的归属关系,只是为了让我们更好的明白一个集合中所包容的个体与另一个集合所包容的个体之间存在的联系。目的是为了让我们在具体化学习中所明白自己所学的小的知识点中是那个大的知识点中的一部分。

集合的运算在我看来是最简单的一部分,运算的部分只是我们所对集合中的个体进行抽象概念的统计,

如求A={1,2,4,6,10}

B={2,4,6,8}之间的交集?我们要不要去考虑其中的数字呢,其实我们都被多年来对数学的学习产生的一种误区,看到数字就会想到它们之间要乘除加减,这是错误的。上面我说过集合和对象只是我们在客观因素想所给的一种抽象概念,它只有代表个体的存在意义,我们完全可以把A中的对象换成{a,b,c,d,e},B中的对象换成{b,c,d,f},而至于求交集,就是看看A和B中相同的是什么罢了。小孩都知道是b,c,d.自然答案就是{b,c,d},然后归回到题目,b代表的是2,c代表的是4,d代表的是6.那么这道题的答案就是{2,4,6}。就这么简单。

集合和对象只是人类方便统计而规定的一种抽象的概念。

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集合的奥秘

山东省实验中学 高一19班 王行毅

1.谈谈你对集合的了解与认识。

记得我还年幼的时候,姑姑问我一个怪问题:“你知道你的脸在哪里吗?”

我想,这还会不知道,用手朝脸上一指说:“这不是嘛。”可是她摇摇头说:“那是鼻子。”

于是,我把手指挪了个地方,可是她说:“那叫腮帮子,不是脸。”

我把手指往旁边挪一下,她说:“那是嘴巴。”往上挪呢,她说:“那是眼睛。”再往上,“那是前额。”最下面呢,“那是下巴颏儿。”

我窘住了。在自己的脸上,居然找不到脸,真是奇怪了。最后,终于想到了以攻为守,反问起来:“那,你的脸在哪儿呢?”

姑姑笑了,说:“把我的鼻子、腮帮子、嘴巴、眼睛、前额、下巴颏儿……放在一起,就是我的脸。”

我恍然大悟,知道了什么是脸!

 

在日常生活中,我们常常需要把一些事物放在一起考虑,并且给它一个总称。

樱桃、梨、苹果、桃……总称为水果;

笔、圆规、三角板、橡皮……总称为文具;

椅子、桌子、书架、床……总称为家具;

ABC……XYZ总称为大写的英文字母;

红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫……总称为颜色。

“集合”一词在《现代汉语词典》中的解释是“若干具有共同属性的事物的总体”,一般的,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。集合不仅在实际生活中有着十分广泛的反应,还是研究数学的一个重要工具,一种人类所必需的数学语言。

在代数里,我们要和全体有理数的集合,全体实数的集合,所有代数式的集合,一次方程的集合,二次方程的集合打交道。

在几何里,我们又接触到了点的各种集合:直线,线段,圆。还有直线的集合,三角形的集合,多边形的集合等等。

集合,是数学里最基本的术语之一,也是最重要的概念之一。如今,集合语言、集合符号、集合运算已经渗透到数学的各个领域,成为不可缺少的工具,它使数学变得更加简洁与清晰。

 

2.选择集合中你感兴趣的问题进行研究。

罗素悖论

有一个村庄,住着一位理发师。他有一个约定:给村里所有自己不刮脸的人刮脸,可是不给那些自己刮脸的人刮脸。

试问:他应不应当给自己刮脸呢?

要是说,他不给自己刮脸,他就是一个自己不刮脸的人,按约定,他就应当给自己刮脸。

反过来,要是他给自己刮脸,他就是一个自己刮脸的人,按约定,他就不应当给自己刮脸。

总之,他陷入了两难的境地:给自己刮脸也不对,不给自己刮脸也不对!

这个著名的理发师的悖论,是英国哲学家、数学家罗素提出来的。

人们常说,数学是科学的基础,而集合论又是公认的现代数学的基础。大家都希望这个基础坚实可靠,千万不要出什么问题才好。

可是,就在集合论的创始人康托尔还健在的时候,人们就发现这个基础有令人担心的裂缝。这裂缝就是罗素悖论。

19世纪末,集合论已取得了相当大的成就。形成了一个独立的数学分支。这时,德国逻辑学家弗里兹,完成了他的重要著作《算法基础》第二卷。在这本书里,他以集合论为整个数学的基础,搞了一套自以为很严密的理论体系。这本书在1902年付印之时,他收到了罗素的一封来信。罗素用一个悖论指出:看来结构严密的集合论,却包含着矛盾!

当时,普遍认为,满足一定条件的一切东西x,可以组成一个集合。至于是什么条件,倒没有加以限制。这也就是允许用集合的记号:A={x|x满足……}来定义一个集合,这种定义的合理性,大家都承认了,称之为“概括公理”。

既然有概括公理,罗素就利用这个公理,引进了一个奇怪的集合,结果总是矛盾。理发师的悖论,就是这个集合通俗化了的翻版。

弗里兹收到罗素的信之后说:最使一个科学家伤心的,是在他的工作即将完成之际,却发现基础崩溃了。可见这封信对他的打击有多大!

罗素的信一发表,就引起了当时数学界和哲学界的震动。这是因为,罗素悖论来自作为数学基础的集合论内部,推理简单明了,毫不含糊,用的正是数学家常用的推理方法。大家一时找不出问题所在,于是疑云四起,不仅怀疑集合论,甚至也对整个数学提出了质疑。

为了清除这个悖论,罗素写了厚厚的一部书。可是,他的理论太复杂了,大部分数学家都不欢迎。

数学家策墨罗,提出了限制集合定义的办法,来消除这个悖论。他主张,并不是随便什么条件都可以定义集合,而只允许从一个集合里分出一个子集合。他的理论比较简单,得到大多数数学家的赞同。

另外,数学家贝尔奈斯等人,也提出了一个公理系统,它也可以消除罗素悖论。

总之,罗素悖论刺激了集合论和整个数学的发展。经过一番大争论,很多问题弄得更清楚了,很多新的理论建立起来了。

经过大家的努力,罗素悖论被消除了。可是,将来会不会出现新的悖论呢?能不能一劳永逸地消除一切悖论,证明数学的理论基础是和谐完美、永不自相矛盾呢?

看来很难。数学家哥德尔证明了:想证明一个理论系统无矛盾,必须假定一个更大的理论系统无矛盾。所以,数学的无矛盾性无法在数学内部证明。数学的力量,只能在它广泛有效的应用中表现出来。

实践是检验真理的唯一标准,这对数学也不例外。

罗素悖论比数学史上的每一个悖论都更深刻,因为它涉及到数学的基础,引起了数学家长时期的大争论,被成为第三次数学危机。

第一次危机,促进了无理数的诞生;第二次危机,加速了微积分的成熟。作为第三次危机的结果,一门新的数学分支,公理化集合论建立起来了。

这三次危机,一次比一次深刻,一次比一次引起了更大的震动。可是,每经过一次危机,数学的成就更加辉煌,数学花园里就增加了更多的奇花异草!

数学,这门古老的科学,至今仍是生机勃勃,正在飞快的向前发展。

集合论,作为数学的基础,它和逻辑学、语言学、哲学相互联系,并肩前进。它的领域正在不断扩大,许多新问题,有待新一代的人们去解决。

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我眼中的“集合”

山东省实验中学高一20  高菁雅

“集合”二字在书本上的描述是:“一般的,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合”。好长的一段文字,它概括出了集合最准确的意义。但是在我看来,集合并不仅仅象征着一大长串的描述性定义;相反,它更像一个大口袋,上面总会写有各种标识,如“奇数”、“有理数”、“蔬菜”、甚至是“桌椅”。而我们则将这个世界上任何一些能够确定为一类的事物装进这个大口袋中,以便使我们更加清楚地将事物进行分类和规划。

老师曾说过,集合像一个爱臭美的大姑娘,常常会身着一件“花衣裳”并且不会轻易脱掉。所以,从此以后我便牢牢记住了集合两边永远会带有大括号。

这,便是我眼中生动的“集合”。

至今,我仍然对老师在第一节集合课上举得那个例子记忆犹新:如果把我们班每一个同学看做一个元素,那么由我们全体同学组成的20班便是一个集合,是一个整体,即使我们是互异的,但是此刻我们组成了一个集合,一个集体。虽然明知这不过是老师信手拈来的一个简单的例子,但不知为何,它却在我内心激起一阵涟漪,也许是……。

这,便是我眼中意味深远的“集合”。

集合的应用很广泛,别看它只是由几个简单符号和数字组合而成,其实它可以表示很多。比如:点的坐标、方程的解集等等。它仿佛有一种神奇的魔法,能将几个原本无奇的字符巧妙地结合在一起,并赋予他们各种不同的意义。

这,便是我眼中奇妙的“集合”。

对于我这个并不擅长数学的学生来说,集合并不代表着一堆又一堆单一的符号,更多的是它具有了灵性与生动。它不像函数一般抽象、复杂,反而让人感觉亲切可爱;它贴近实际,却不会因此褪去神奇的色彩而变得趋于平凡;它依旧会抛给你一个又一个定律,让你为之不断探索深究。但是,你随时都可以感受到它“神秘面纱”下亲切的“微笑”。

这,就是我眼中的“集合”。

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集合漫谈

山东省实验中学 高一20班 孙聪

向往神秘的数学很久了,终于,在期待中我迎来了高中数学中的第一个专题----集合。

初识集合,还不知其真正含义,只是在老师的简单介绍下有了一个大概的印象:所谓集合,是一个广泛而抽象的概念,它是一个整体,是许多对象的整体。这个对象,可以是一切真实的、抽象的东西、人、物、形,甚至是微观世界中的一切,都可以作为对象构成一个集合。

随着学习的深入,我对集合的认识也愈加完善,子集、交集、并集、补集,一个个新颖的词汇出现在我眼前,令我对集合的兴趣也更加浓厚,我享受集合带来的乐趣。

集合真的很神奇,它涵盖了大千世界的一切,只要简单地定义,所有的东西都可以包括进来或驱逐出去。尽管集合论现在还遭到部分人的反对,指明其有弊端,在理论内部存在悖论,但我相信,随着人们的进一步研究,集合论会变得更完善!

学了这么久的集合,印象最深的还是一种相对论。本来是元素属于集合,但跳出这个圈子,随着深入学习,原来“集合”也能“属于”集合,只不过这时前面的集合要作为元素对待,因为后面的集合外又加了大括号,就好像升级了一般,这给我的启发很大。由此可见,学数学要脑筋灵活,善于透过现象抓本质,要宏观看待问题,打破思维定式,另眼看世界。

基于我对集合的理解,我对高中数学产生了更浓厚的兴趣,我会坚持探索,踏实学好该学的一切。

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集合运算中的解题思想

                                ————数形结合和分类讨论

山东省实验中学高16班 谷天龙

集合,无疑是谁在谁的里面,谁在谁的外面。当变成数学语音时,题干的要求变得很抽象,当然对于逻辑思维强的同学是不难理解的,但对于大部分同学,还是要思考一会的,在思考的过程中,一旦有所偏差,可谓一步走错,满盘皆输。当我们在学习第一章时,对韦恩图都有所了解,韦恩图就是我们在集合中的一个引路人,把语句变成图像,一串串文字一下子变的一目了然,然后由图把各个集合,元素之间的关系搞清楚,就比较容易做了,例如:若A.B.C为三个集合,AB=BC,则一定有( A..A真包含于C  B.C真包含A   C.A不等于B  D.A等于空集  然后,我们按照题干的要求将韦恩图画出来: 由图像

由图像可一目了然,在与选项对比,故选A

  当在做集合的题中,做出一个正确的答案就草率收手,结果却是错题一个,当在做题时,我们的思路需要严密,有些条件,可暗指多种可能性,比如绝对值,平方等。我们一定要想得多一些,把不重复的条件都考虑上,不漏掉任何一个答案,最后在进行综合讨论,使答案变的全面,例如:

定义集合运算:AB={zz=xyx+y),xAyB}设集合A={01}B={23},则集合AB的所有元素之和为( A.0 B.6 C.12 D.18.

在这里,我们要对xy进行分类讨论,因为xy所在集合中都有多个元素,最后为元素之和,我们需要对结果进行综合概括。

解:⑴当x=0时,无论y取值多少,z=0

    ⑵当x=1时,y=2时,由题意,z=6

    ⑶当x=1时,y=3时,z=12

综上所述:集合AB={0.6.12},和为6+12=18,选D

  这是我在集合中得到的两种思想,希望大家有好的策略时,与我多交流一下,共同进步

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星光大道

 

 

 

 

 

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数学史话

历史上的三次数学危机

山东省实验中学 胡志明老师供稿

   亲爱的同学们,你了解数学的发展史吗?数学发展并非一帆风顺的,它的发展过程中曾经出现过三次危机,而每次危机都曾经引起当时数学界的恐慌,好在聪明的数学家们最终把它们都解除了。接下来,我就带大家了解一下那段悠久的历史。

第一次危机发生在公元前580568年之间的古希腊,数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体,该学派人数固定,知识保密,所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限,对于无理数的概念更是一无所知,毕达哥拉斯学派所说的数,原来是指整数,他们不把分数看成一种数,而仅看作两个整数之比,他们错误地认为,宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理)通过逻辑推理发现,边长为1的正方形的对角线长度既不是整数,也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条,也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安,相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死,这就是第一次数学危机。
  
最后,这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段,如果存在一个第三线段能同时量尽它们,就称这两个线段是可通约的,否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线,就不存在能同时量尽它们的第三线段,因此它们是不可通约的。很显然,只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制,所谓的数学危机也就不复存在了。
   
我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生,比如说我们现在说的 , 都无法用 来表示,那么我们必须引入新的数来刻画这个问题,这样无理数便产生了,正是有这种思想,当我们将负数开方时,人们引入了虚数i(虚数的产生导致复变函数等学科的产生,并在现代工程技术上得到广泛应用),这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义,因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后,由于推敲微积分的理论基础问题,数学界出现混乱局面,即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料,微积分的雏形早在古希腊时期就形成了,阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素,直到2100年后,牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中,第一步用了无穷小量作分母进行除法,当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零,去掉那些包含它的项,从而得到所要的公式,在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的,但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.焦点是:无穷小量是零还是非零?如果是零,怎么能用它做除数?如果不是零,又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢?
  
直到19世纪,柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外Weistrass创立了 极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决。
   
而我自己的理解是一个无穷小量,是不是零要看它是运动的还是静止的,如果是静止的,我们当然认为它可以看为零;如果是运动的,比如说1/n,我们说 ,但n1/n相乘就为1,这就不是无穷小量了,当我们遇到 等情况时,我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限,也可以用Taylor展式展开后,一阶一阶的比,我们总会在有限阶比出大小。

第三次数学危机发生在1902年,罗素悖论的产生震撼了整个数学界,号称天衣无缝,绝对正确的数学出现了自相矛盾。
   
我从很早以前就读过“理发师悖论”,就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢?还有大家熟悉的“说谎者悖论”,其大体内容是:一个克里特人说:“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上来说,这就是罗素悖论的一个具体例子。
罗素在该悖论中所定义的集合R,被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于R是集合,若R含有自身作为元素,就有R R,那么从集合的角度就有R R。一个集合真包含它自己,这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素,又要RR是相同的,这显然是不可能的。因此,任何集合都必须遵循R R的基本原则, 否则就是不合法的集合。这样看来,罗素悖论中所定义的一切R R的集合,就应该是一切合法集合的集合,也就是所有集合的集合,这就是同类事物包含所有的同类事物,必会引出最大的这类事物。归根结底,R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了,实质上,罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
   
从此,数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统),这场数学危机到此缓和下来。
   
现在,我们通过离散数学的学习,知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论,集合是先定义了全集I,空集 ,在经过一系列一元和二元运算而得来得。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论,使现代数学得以发展。

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希尔伯特

084班 王英琦提供。高桂珍老师 整理

你知道数学发展的动力是什么吗?是问题;你知道近代数学发展的动力是什么吗?是希尔伯特的23个数学问题,你对希尔伯特的23个数学问题感兴趣吗?你知道数学家希尔伯特的传奇吗?

一、一鸣惊人: 

1900年的86,国际数学家代表大会在巴黎召开。一位年方38岁的德国数学家走上讲台,第一句话就问道:“解开隐藏在未来之中的面纱,探索未来世纪的发展前景,谁不高兴呢?”接着,他向到会者——也向国际数学家大会提出了23个数学问题。这一演说,成为世界数学史上的重要里程碑,为20世纪的数学发展揭开了光辉的第一页!这个年轻人就是大卫·希尔伯特(David  Hilbert18621943)。

二、         注定成为二十世纪数学的领路人

希尔伯特,德国数学家,生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳。中学时代,希尔伯特就是一名勤奋好学的学生, 从小对数学得心应手。对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣,善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容。他的一位亲戚回忆说,小希尔伯特“作文”要靠妈妈帮助,但是却能给老师讲解数学难题。希尔伯特18岁进大学,23岁获博士学位。   

 1880,他不顾父亲让他学法律的意愿,进入哥尼斯堡大学攻读数学。1884年获得博士学位,后来又在这所大学里取得讲师资格和升任副教授。希尔伯特是一位正直的科学家,第一次世界大战前夕,他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的《告文明世界书》上签字。战争期间,他敢于公开发表文章悼念“敌人的数学家”达布。希特勒上台后,他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策。由于纳粹政府的反动政策日益加剧,许多科学家被迫移居外国,曾经盛极一时的格廷根学派衰落了,希尔伯特也于1943年在孤独中逝世。

三、希尔伯特的23个数学问题,被认为是本世纪数学的制高点

希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一。他领导了著名的格廷根学派,使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心,并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期,每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序,他的主要研究内容有:不变式理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础,其间穿插的研究课题有:狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中,他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为,科学在每个时代都有它自己的问题,而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出:“只要一门科学分支能提出大量的问题,它就充满着生命力,而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。”在1900年巴黎国际数学家代表大会上,希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他阐述了重大问题所具有的特点:好的问题应具有以下三个特征:1 清晰性和易懂性;  2 虽困难但又给人以希望; 3 意义深远。

同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。就是在这次会议上他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势,提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题,即著名的“希尔伯特23个问题”。后来成为许多数学家力图攻克的难关,对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响,并起了积极的推动作用,希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决,有些至今仍未解决。他在1900年提出的23个数学问题,被认为是本世纪数学的制高点,在世界上产生了深远的影响。著名的哥德巴赫猜想也是问题之一,以陈景润为代表的中国数学家获得了。希尔伯特领导的数学学派是上世纪末本世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称为“无冕的数学之王”,也是20世纪的引路人。 他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以解决的信念,对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说:“在我们中间,常常听到这样的呼声:这里有一个数学问题,去找出它的答案!你能通过纯思维找到它,因为在数学中没有不可知。”

三十年后,1930年,在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中,针对一些人信奉的不可知论观点,他再次满怀信心地宣称:“我们必须知道,我们必将知道。”希尔伯特的《几何基础》(1899)是公理化思想的代表作,书中把欧几里得几何学加以整理,成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统,并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。1904年,又着手研究数学基础问题,经过多年酝酿,于二十年代初,提出了如何论证数论、集合论或数学分析一致性的方案。他建议从若干形式公理出发将数学形式化为符号语言系统,并从不假定实无穷的有穷观点出发,建立相应的逻辑系统。然后再研究这个形式语言系统的逻辑性质,从而创立了元数学和证明论。希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明,以便克服悖论所引起的危机,一劳永逸地消除对数学基础以及数学推理方法可靠性的怀疑。然而,1930年,年青的奥地利数理逻辑学家哥德尔(K.G?del19061978)获得了否定的结果,证明了希尔伯特方案是不可能实现的。但正如哥德尔所说,希尔伯特有关数学基础的方案“仍不失其重要性,并继续引起人们的高度兴趣”。希尔伯特的著作有《希尔伯特全集》(三卷,其中包括他的著名的《数论报告》)、《几何基础》《线性积分方程一般理论基础》等,与其他合著有《数学物理方法》、《理论逻辑基础》、《直观几何学》,《数学基础》。

   希尔伯特不仅是位杰出的学者,而且是为思想自由、政治民主而斗争的战士,1943214与世长辞。后人在他的墓碑上镌刻着他的格言:“我们必须知道,我们必将知道。”

   为希尔伯特感动

    辛勤耕耘八十载,其功远胜五代王。虽然希尔伯特只生活了不到一个世纪,但是他的功绩却如同推动了数学界几千年的发展。23道数学问题如同一座座高大的俊山,虽然无法迅速的越过,但是他却给了人们无比的憧憬,并且一旦越过,那么前途将是无比光明。希尔伯特领导的格廷根学派,是当时的数学界中心,他们的努力也促进了数学界更好更快的发展。并且他忠于真正的世界文明,敢于向敌人的欺骗进行挑战,揭开了希特勒不人道政策的幕布。他,不愧是数学界的无冕之王;他,不愧是20世纪的引路人!

正如他所说的;我们必须知道,我们必将知道。对于无比奇妙的数学世界,只要我们保有浓厚的求知欲,勇于探索,终将发现一片片深切热力的云彩。

(本文部分内容选自网上相关文章)

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康托尔与他的集合

山东省实验中学 高一19班 罗雨飞、赵坤年

康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家,集合论的创立者。是数学史上最富有想象力,最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统,从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托尔是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造,集合概念大大扩充了数学的研究领域,给数学结构提供了一个基础,集合论不仅影响了现代数学,而且也深深影响了现代哲学和逻辑。

1.康托尔的生平

184533,乔治·康托尔生于俄国的一个丹麦犹太血统的家庭。1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样,他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感,并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工,因而康托尔在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托尔很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学,康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。他在1869年取得在哈勒大学任教的资格,不久后就升为副教授,并在1879年升为正教授。1874年康托尔在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。这篇文章的创造性引起人们的注意。在以后的研究中,集合论和超限数成为康托尔研究的主流,他一直在这方面发表论文直到1897年,过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托尔患了精神分裂症。这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活。191816,康托尔在哈勒大学的精神病院中去世。

2.集合论的背景

为了较清楚地了解康托尔在集合论上的工作,先介绍一下集合论产生的背景。

集合论在19世纪诞生的基本原因,来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过程,无穷小和无穷大这些无穷概念。在18世纪,由于无穷概念没有精确的定义,使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难,而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶,柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是,柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性,甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观,确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是,许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中,都涉及到对微积分的基本研究对象连续函数的描述。在数与连续性的定义中,有涉及关于无限的理论。因此,无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之,为寻求微积分彻底严密的算术化倾向,成了集合论产生的一个重要原因。

3.集合论的意义

集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门,为这些学科提供了奠基的方法,改变了这些学科的面貌。几乎可以说,如果没有集合论的观点,很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义,而且对现代数学的发展也有深远的影响。

康托尔一生受过磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年。康托尔虽曾一度对数学失去兴趣,而转向哲学、文学,但始终不能放弃集合论。康托尔能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对,坚定地捍卫超穷集合论,与他的科学家气质和性格是分不开的。康托尔的个性形成在很大程度上受到他父亲的影响。他的父亲乔治·瓦尔德玛·康托尔在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人,明智且有天份。他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功。

今天集合论已成为整个数学大厦的基础,康托尔也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。

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集合 · 罗素悖论

山东省实验中学 高一19班 刘天骄

高中数学的开门课程就是集合,这是数学很重要的部分。

现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看,在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性,人们可以通过说明属性来说明概念,也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延,外延其实就是集合。从这个意义上讲,集合可以表现概念,而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理,一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。

集合论的创始人是康托尔, 集合论提出伊始,曾遭到许多数学家的激烈反对,康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中,他得了精神分裂症。有人嘲笑集合论是一种疾病,有人嘲讽超限数是雾中之雾,称康托尔走进了超限数的地狱。然而集合论前后经历二十余年,最终获得了世界公认。到20世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论的概念,便可以建造起整个数学的大厦。

 

而后便出现了罗素悖论,这也是我比较感兴趣的问题。究竟罗素悖论是什么,它又是什么意思呢,通过查找资料我了解了大概。罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R。现在问R是否属于R?如果R属于R,则R满足R的定义,因此R不应属于自身,即R不属于R;另一方面,如果R不属于R,则R不满足R的定义,因此R应属于自身,即R属于R

也许这样解释也不是很明确,那么还有几个小例子。

理发师悖论

在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于不给自己刮脸的人,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于给自己刮脸的人,他就不该给自己刮脸。这个理发师悖论与罗素悖论是等价的。

·吉诃德悖论

再比如世界文学名著《唐·吉诃德》第二卷的第51章中有这样一个故事:唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上,成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律:每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题:你到这里来做什么?如果回答对了,就允许他在岛上游玩,而如果答错了,就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人,或者是尽兴地玩,或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢?一天,有一个胆大包天的人来了,他照例被问了这个问题,而这个人的回答是:我到这里来是要被绞死的。请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩,还是把他绞死呢?如果应该让他在岛上游玩,那就与他说要被绞死的话不相符合,这就是说,他说要被绞死是错话。既然他说错了,就应该被处绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢?这时他说的要被绞死就与事实相符,从而就是对的,既然他答对了,就不该被绞死,而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现,他的法律无法执行,因为不管怎么执行,都使法律受到破坏。他思索再三,最后让卫兵把他放了,并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。

 

1908年,策梅罗提出第一个公理化集合论体系,后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。

由于悖论而导致的三次数学危机与度过,我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说:提出问题就是解决问题的一半,而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。悖论的出现逼迫数学家们投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中,各种理论应运而生了:第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展,这或许就是数学悖论重要意义之所在吧,而罗素悖论在其中起到了重要的作用。

通过学习集合,还有对罗素悖论的了解,我知道了我们在学习中要不断的提出疑问,才能更好的提高自己,而且数学也不是完全完美的,需要我们的努力让她更加完善。数学是生活中必不可少的学科,是充满智慧的学科。

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圆周率小故事  ——巧记圆周率30

14  张宝晨

从前,有一个特别喜爱喝酒的私塾先生。他为了有空溜出去喝酒,就常常留一些刁难人的题目让学生们做。有一回,他酒瘾又犯了,但是还不到放学时间,他便只好故伎重演,叫学生背诵圆周率,放学之前得背出30位小数,否则不许回家。
   
3.141592653589793238462643383279”,学生们硬着头皮死背。偏偏有几个调皮鬼满不在乎,一溜烟奔后山玩儿去了。忽然,他们看见了先生——他正和一个和尚在山顶的凉亭里喝酒呢!几个调皮鬼好不气愤,于是啄磨开了…………等到夕阳西下,先生酒醉饭饱,想起了这帮学生,便回来考查

他们那些听话的学生偏偏背不下来,倒是那些调皮鬼张口就来:“

山巅一寺一壶酒(3.14159),尔乐苦煞吾(26535),把酒吃(897),酒杀尔(932),

杀不死(384),遛尔遛死(6264),扇扇刮(338),扇耳吃酒(3279)。”
    调皮鬼们边念边手舞足蹈地表演。先生气得目瞪口呆,却也无可奈何。

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数学迪斯尼

猪八戒故事两则

智斗猪八戒

话说唐僧师徒西天取经归来,来到郭家村,受到村民的热烈欢迎,大家都把他们当作除魔降妖的大英雄,不仅与他们合影留念,还拉他们到家里作客。

面对村民的盛情款待,师徒们觉得过意不去,一有机会就帮助他们收割庄稼,耕田耙地。开始几天猪八戒还挺卖力气,可过不了几天,好吃懒做的坏毛病又犯了。他觉得这样干活太辛苦了,师傅多舒服,只管坐着讲经念佛就什么都有了。其实师傅也没什么了不起的,要不是猴哥凭着他的火眼金睛和一身的本领,师傅恐怕连西天都去不了,更别说取经了。要是我也有这么一个徒弟,也能有一番作为,到那时,哈哈,我就可以享清福了。

于是八戒就开始张落起这件事来,没几天就召收了9个徒弟,他给他们取名:小一戒、小二戒…小九戒。按理说,现在八戒应该潜心修炼,专心教导徒弟了。可是他仍然恶习不改,经常带着徒弟出去蹭吃蹭喝,吃得老百姓叫苦不迭。老百姓想着他们曾经为大家做的好事,谁也不好意思到悟空那里告状。就这样,八戒们更是有恃无恐,大开吃戒,一顿要吃掉五、六百个馒头,老百姓被他们吃得快揭不开锅了。

邻村有个叫灵芝的姑娘,她聪明伶俐,为人善良,经常用自己的智慧巧斗恶人。她听了这件事后,决定惩治一下八戒们。她来到郭家村,开了一个饭铺,八戒们闻讯赶来,灵芝姑娘假装惊喜地说:“悟能师傅,你能到我的饭铺,真是太荣幸了。以后你们就到我这儿来吃饭,不要到别的地方去了。”她停了一下说:“这儿有张圆桌,专门为你们准备的,你们十位每次都按不同的次序入座,等你们把所有的次序都坐完了,我就免费提供你们饭菜。但在此之前,你们每吃一顿饭,都必须为村里的一户村民做一件好事,你们看怎么样?”八戒们一听这诱人的建议,兴奋得不得了,连声说好。于是他们每次都按约定的条件来吃饭,并记下入座次序。这样过了几年,新的次序仍然层出不穷,八戒百思不得其解,只好去向悟空请教。悟空听了不禁哈哈大笑起来,说:“你这呆子,这么简单的帐都算不过来,还想去沾便宜,你们是永远也吃不到这顿免费饭菜的。”“难道我们吃二、三十年,还吃不到吗?”悟空说:“那我就给你算算这笔帐吧。我们先从简单的数算起。假设是三个人吃饭,我们先给他们编上123的序号,排列的次序就有6种,即123132213231312321。如果是四个人吃钣,第一个人坐着不动,其他三个人的座位就要变换六次,当四个人都轮流作为第一个人坐着不动时,总的排列次序就是6×424种。按就样的方法,可以推算出:五个人去吃饭,排列的次序就有24×5120种……10个人去吃钣就会有3628800种不同的排列次序。因为每天要吃3顿钣,用3628800÷3就可以算出要吃的天数:1209600天,也就是将近3320年。你们想想,你们能吃到这顿免费钣菜吗?”

经悟空这么一算,八戒顿时明白了灵芝姑娘的用意,不禁羞愧万分。从此以后,八戒经常带着徙弟们帮村民们干活。他们又重新赢得了人们的喜欢。

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猪八戒新传之路遇哪吒

    八戒正往前走,忽听背后有人叫他:“老猪,好自在啊!”八戒回头一看,是托塔天王的三太子哪吒。

    八戒摇晃着脑袋说:“这不是那个三头六臂的妖精吗?”

    哪吒听八戒叫他妖精,勃然大怒,大喝一声:“变!”随即变做三头六臂,6只手分别拿着6件兵器:斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿、火轮儿,恶狠狠地朝八戒打来。

    八戒不敢怠慢,舞动钉耙迎了上去,两人“叮叮当当”地打了起来。过了一阵子哪吒见没占到便宜,又喊了一声:“换!6只手拿着兵器立刻交换了一下位置。就这样哪吒不断变换着兵器的拿法,可把八戒打晕了。

    八戒连连摆手说:“不行啦,不打啦,我说你这6只手一共有多少种不同的拿法?”

    720!”哪吒神气活现。

    “吹牛。”八戒把大嘴一撇说:“有二三十种我还信,720种?你别骗我啦!

    哪吒让5只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵、绣球儿,对八戒说:“你看,我5只手拿的兵器固定不变,这时我第6只手只有拿火轮儿这一种拿法。”

    八戒点点头说:“嗯,不错,就一种拿法。”

    哪吒又让4只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索、降妖杵,这时第56只手可以轮换拿绣球儿、火轮儿,共有两种拿法。

    哪吒再让3只手依次拿着斩妖剑、砍妖刀、缚妖索,而另3只手变换出以下6种拿法:

    降妖杵、绣球儿、火轮儿;

    降妖杵、火轮儿、绣球儿;

    绣球儿、降妖杵、火轮儿;

    绣球儿、火轮儿、降妖杵;

    火轮儿、绣球儿、降妖杵;

    火轮儿、降妖杵、绣球儿。

    八戒摸摸脑袋说:“这要是6只手都随便拿可怎么个排法呀?还不排晕喽!

    哪吒笑骂着:“真是个呆子!你观察一下下面的3个数:11,21×2,61×2×3。由此推想:如果固定两只手,而剩下的4只手随意拿,可有1×2×3×424种拿法。而6只手都随意拿呢?有1×2×3×4×5×6720种不同拿法。”

    八戒向哪吒一拱手:“你的变化真多,我服了。”

(山东省实验中学 邵丽云老师供稿)

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最大和最小—— 一道数学趣题

    山东省实验中学高一16班 刘通

    从小学起,我们就开始学习比较数与式的大小。如今,只要给出一组实数,我们能够很快地排列出它们从大到小的顺序。然而,以下几道蕴涵着比较的问题,却骗过了许多有着丰富数学学习经验的人。

    1)三个1,不另加任何数学运算符号(包括括号),能写成的最大的数是什么?能写成的最小的数是什么?

    2)四个1,不另加任何数学运算符号(包括括号),能写成的最大的数是什么?能写成的最小的数是什么?

    3)三个2,不另加任何数学运算符号(包括括号),能写成的最大的数是什么?能写成的最小的数是什么?

    4)三个4,不另加任何数学运算符号(包括括号),能写成的最大的数是什么?能写成的最小的数是什么?

    这几道看似简单的问题,能一次性答对的人却少之又少。下面请你再仔细想一想,看看自己的第一感觉是否正确。

    如果你的心中已经有了确定答案,就让我们来一起探讨一下。第(1)题,很明显,111是最大的数,111=1是最小的数。

    第(2)题,如果你从(1)的经验出发,认为1111是最大数,就错了。这里最大的数应是1111=285311670611,请看,仅仅增加了一个1,数的大小差别竟这样大。同理,这里最小的数是1111

    3)相信大家不会再以为222是最大的数,相反,它是最小的数。这里,最大的数是222=4194304

    4)经过前三轮的考验,这个问题的答案已经顺理成章。444这个27位的大数荣登榜首,最小的数是444

    这一类判断最大值和最小值的问题能很好地锻炼人的思维能力,增强人的严密性。同样,你也可以适当更改题目要求,使之难度更大,例如将“不另加任何数学运算符号(包括括号)”的条件改为“可以添加括号,但不另加其他数学运算符号”,有些题目的答案可能截然不同。

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 迷你考场

试一试你是否能做全对(答案在下期)

山东省实验中学 高桂珍老师供稿

1、(1集合,则       

2)集合,则 

2、集合,则        

3、集合        

4、集合        

5、设集合,则集合 

                    

6,则集合的子集有     个;集合的真子集有        个。

7、集合,若,则a的值        

8如果U={x|x是小于0的正整数}A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}, 那么CUACUB=        

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你问我答

这是一个竞技场,你可以是裁判,出题,打分;你亦可是选手,提出正解,夺得桂冠。以下的几个问题,聪明的你一定有自己独特的见解,欢迎来稿,希望在下期杂志中见到你的高见!

1、(1    个元素

2      个元素

2  定义集合运算:AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,设集合则集合AB的所有元素之和

         

3PQ为两个非空实数集合,定义集合P+Q=      ,则P+Q中元素的个数是                                                                     

       A9                        B8                        C7                        D6

4、若非空集合关于运算满足以下条件:

,都有

,使得对,都有,则称集合关于运算为“融洽集”

(1)为整数的加法       (2)为整数的乘法

(3)为平面向量的加法   (4)为多项式的加法

以上集合关于运算为“融洽集”的是          (填序号)

5、高一19班的刘怡然同学在“数学小研究”版块中发表的文章《关于集合》中提到了集合运算中许多定律和原理,你读了吗?其中有一个吸收原理,你能给出证明吗?试试看吧。

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数学贴吧

与集合交朋友

高一16   任晓彤

    数学中的符号与数字,看起来比较抽象,其实并非亦然。在日常生活中,有许多繁重琐碎的事情需要整理、处理。数学呢,可以帮我们把它们排排队,分分类,统一处理就方便快捷得多了!这就是我们的一个生活上的助人为乐的好朋友——集合。

    这就是一种非常简易的整理数据的方法。为了使用方便,一些常用的集合还有自己特殊的名字,自然数集叫做N,整数集叫做Z,既便捷又好记!

    集合也有许多表示方法,根据集合的性质可以选择适当的表示方法,这样会使自己整理的东西很整洁,一目了然。如元素少或有顺序的话可以采用列举法像A={xN|x<5x>0}就可记作A={1,2,3,4},这样看起来既清晰又简练。若元素多就可以采用描述法,把所需的元素用数学语言表示出来,纵贯全体。不过要记住啊,集合中的任何一个元素就像你一样,独一无二,不可出现一个与你完全相同的,这就叫元素的互异性。

    集合也有自己的家族。某些集合之间存在一些关系,我们用一系列的数字符号把它们连接起来,一条“家谱脉络”就很清晰了。像子集和真子集,集合之间有包含、相等、真包含等关系。还有一个最小的宝贝各家都有,小到没有任何元素,叫做空集。

    集合间也可以组合家庭啊,就是结合的运算。有交集、并集、补集等。在运算时,还可以遵循一些规律,交换律,结合律,分配律,摩根律等等。他们就像些媒介一样,让集合间可以更快的了解,结合。

这样,有了它的帮忙我们会轻松很多,所以数学是科学的基础和应用广泛的学科啦!

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智慧的结晶——集合

200816班 于婷婷

    从初中到高中,我的第一个飞跃便是认识了集合并学习了有关集合的一系列知识。通过一周的学习,我由衷的感叹:集合真是人类智慧的结晶。

我很想穿越时间和空间回到19实际的德国,看看康托尔,这位“集合之父”实在怎样的情况下创造了集合。不用我多说,康托尔是一名为数学这门科学进步奉献很多的数学家——凡是学习过数学的人,都该了解,集合的应用不知解决了多少难题。但我认为,康托尔还是一名杰出的语言学家:他创造出数学最通用也最基础的语言——集合语言。这简洁并精准的语言,无疑是一个伟大的创造!数学这门课学是以精准而文明的,研究数学的人都需要有严谨的思维模式。但在叙述方面,尤其是对代数范围的形容,往往很难做到尽善尽美,而集合的出现,学解决了这一大难题!寥寥几个字,就可以精确的描述出想要表达的代数范围。我们不得不承认,集合语言是一项多么伟大的发明!

集合的魅力是内敛而细微的,它不像集合拥有张扬多变的表象,它只是简单的一串文字和几个符号。但只要去接触,你就会被其所俘虏。那些规范、简洁、精准的表示方法,还有千变万化的形式,以及贴近生活的习题,无一不慢慢显示出它们独到的魅力,一点点渗入你的生活,诱惑你沉醉其中!当然,当你爱上集合的时候,你会发现,你进入了一个关于集合的美丽世界,哪里清晰清新,拥有最无与伦比的魅力!

接触集合,感受集合,你也许会明白什么才是智慧的结晶!

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数独游戏

高一4  李颖雅

游戏规则:    

1.9×9的大九宫格内,已给定若干数字,其他宫位留白,玩家需要自己按照逻辑推敲出剩下的空格里是什么数字。

2.必须满足条件:每一行与每一列都有19的数字,每个小九宫格里也有19的数字,并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次,既不能重复也不能少。

3.每个数独游戏都可根据给定的数字为线索,推算解答出来。

   

   

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竞赛园地

高中数学奥赛的介绍

山东省实验中学  王虎

中学数学竞赛如火如荼的进行,中国于1985年首次参加国际中学生数学竞赛(简称IMO)至今一直处于不败之地。为了更好的适应现阶段的广大中学生的数学学习,引导中学生接触数学竞赛,提高数学能力,现在对其中的一些疑问作以下介绍和解答。

(一)中学数学联赛是什么?

 早在五十年代,以华罗庚教授为代表的我国老一辈数学家就十分重视培养青少年优秀人才,倡导并组织了多次数学竞赛活动,吸引了大批数学爱好者,对我国科技人才的成长和科学研究的开展做出了卓越的贡献。由于种种客观因素,我国数学竞赛活动几经波折。到1978年才又重新开展起来。1981年中国数学会开始举办“全国高中数学联赛”,这一群众性的数学竞赛活动得到了全国广大中学师生欢迎,也得到了教育行政部门、各级科学技术协会以及社会各阶层人士的肯定和支持。“试题所涉及的知识范围不超出现行教学大纲”这一命题原则,也得到了广泛的理解和拥护。中国数学会所主办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛、全国小学数学奥林匹克都是群众性的数学课外活动,是大众化、普及型的数学竞赛。高中联赛与全国中学生数学冬令营衔接,有“选拔”的作用。

奥数”究竟是什么?它和我们平时学的数学课有什么区别和联系?我想大多数的家长和老师都不一定很清楚,可能就觉得只有那些思路比较新、怪,难度比较大的所谓“难题”、“偏题”才是“奥数”。其实不然。

 

(二)高校报送政策是什么?

  高校2007年保送生政策已经出台,具备保送资格的考生范围维持不变,仍为六类。

一是省级优秀学生。

二是在全国高中数学联赛、全国中学生物理竞赛、全国高中学生化学竞赛、全国青少年信息学奥林匹克联赛、全国中学生生物学联赛5项比赛的省级赛区中获得一等奖,参加中国数学奥林匹克全国决赛、全国中学生物理竞赛决赛、全国高中学生化学竞赛、全国青少年信息学奥林匹克竞赛、全国中学生生物学竞赛5项全国决赛,并获得一、二、三等奖的应届高中毕业生。

三是参加国际科学与工程大奖赛、国际环境科研项目奥林匹克竞赛,并获得奖项的高中应届考生;在全国青少年科技创新大赛(含全国青少年生物和环境科学实践活动)明天小小科学家奖励活动、全国中小学电脑制作活动中获得竞赛一、二等奖的应届高中生。

四是外国语中学学生。全国有16所外国语中学可向高校推荐保送外语人才,这16所外国语中学分别是:天津、石家庄、长春、济南、南京、杭州、厦门、南昌、武汉、重庆、郑州、太原、成都、深圳外国语学校和上海外国语大学附中(含浦东校区)和广东外语外贸大学附中。各校推荐的比例不超过本校应届高中毕业生总数的20%。这些考生只能保送至北外、北语、外交学院、北二外、上外、广东外语外贸大学等6所院校和综合性大学的外语系、专业。

五是获得全国体育比赛前三名、亚洲体育比赛前六名、世界体育比赛前八名的运动员,获得球类集体项目运动健将、田径项目运动健将、武术项目武英级和其他项目国际级运动健将称号的运动员,经国家体育总局资格审核并报教育部备案后,可以免试进入高校学习。

六是全国公安系统革命烈士或被公安部授予全国公安战线一、二级英模的公安英烈子女,高中毕业,年龄不超过22周岁,经审核条件合格者均可被保送进入公安院校深造。

 

(三)数学竞赛的时间及流程

  “全国高中数学联赛”于每年十月中旬的第1个星期天举行,分一、二两试。一试试题主要着眼于普及,重在考察数学的基础知识和基本技能,二试着眼于提高,着重考察学生运用数学知识、方法解决实际问题的能力。在“全国高中数学联赛”中的优胜者将被邀请参加全国中学生数学冬令营。所谓“联赛”,就是各省、市、自治区联合举办,轮流做庄,大家提供试题。

高中数学竞赛分预赛和决赛, 预赛一次考完.150,一般来说只要你能考到90分以上就可以进入决赛.

决赛分为第一试和第二试,各有150分。一般说来第一试都是高中教学中的较为基础的题目,第二试属于非必修,要在一些资料上才有,也可以通过辅导老师讲授。主要是要做好第一试的题目,评奖要求:第一试至少90分, 第二试不为0分。

 

(四)参加数学联赛对于学习有什么影响?

     高中阶段的数学教育有普及和提高的双重能力,在我国高中数学教学大纲和高中数学新课程标准框架内的各种版本的高中数学教材,其主要功能是普及数学文化,为升学做准备,因而高中数学教学水平和对学生的能力要求不可避免的受制于高考命题水准。虽然高考命题不断更新、创新,但是由于高考目标和能力的局限性,就在一定程度上造成了为适应高考的高中课内的数学教学的重复性、被动性、疲劳性,这是低水平的运行态势。无疑对青少年的智力开发和创新能力、研究能力的培养不利。所以数学竞赛在一定程度上可以解决这种局限性,有利于在新形势下的数学学习。

数学联赛致力于提高广大中学生的数学学习水平和利用知识解决实际问题的能力,对于基础差的学生建议不要进行数学竞赛的练习,可以掌握教材要求掌握的基础知识,可以做一下相应章节的高考题目,发展自身的数学能力,稍扎实的学生也可适应的作一下数学联赛一试的题目加强数学各章节知识的联系和巩固。对于对数学有浓厚的兴趣,并且有较好的数学学习基础的同学建议参与数学竞赛的学习的训练,一方面可以通过参加数学联赛、冬令营和国际竞赛,锻炼自己在数学大赛中的能力,并可获得保送进入高等学校的机会;另一方面可以提高平时数学的学习成绩,并且加强数学学习中各章节基础知识的相关联系。

那么“奥数”适合什么样的学生学习呢?在我看来,奥数主要是针对课堂上的数学学得相对比较扎实,学有余力且又对于数学有着一定兴趣的学生。 但同时也要看到,适合学奥数的学生之间也是有差别的,奥数学习也是必须要分层次、分难度,根据不同的学生安排不同的内容和难度,因人因地因时而宜的。我觉得难度的选择,最好是以学生上课能听懂,课下花点功夫就能基本掌握为准。另一方面,我也很不赞成本末倒置的做法,如果平时数学课上的内容暂时还都没有学得比较好的话,那么还是要以平时课堂的数学内容为主,要不然花时花力花钱还于事无补。

 

(五)数学竞赛培养的一般流程。

在各学校的数学培训、各种竞赛参考书中,数学联赛的培养一般分为三个阶段:

1、在开始的半年到一年的时间中,一般用来加强数学基础知识的学习,利用这段时间将高中数学的各章节知识首先学完,并作相应的巩固,为后面地深层学习打下坚实的基础。

2、在接下来的半年到一年的时间中,针对高中数学联赛大纲的要求,将需要补充的知识作一下补充和专题学习,例如图论、组合数学、数论,以及重要的数学思想,比如构造思想、特殊化思想、化归思想等等知识,做一下初步的了解,同时对相应的专题进行深入的学习和巩固。

3、在剩下的时间里,主要加强二试题目的练习和讲解,将有针对性地学习二试所要求的各项知识,通过反复的练习加强巩固,在临考试之前的时间里组织数学联赛的模拟考试,使得提前适应考试氛围。

 

(六)如何开展数学联赛的学习

做竞赛题首先要能够将学到的知识综合运用,这是最基本的。至于能不能作出来,还需要一些巧思,或者是技巧。技巧也是可以学到的,多做些题,研究一下答案的方法,慢慢的也可以学到一定的技巧。在水平达到一定程度后,就要学会“精”做题,即不要追求做题的数量,而要注重做题的质量。这时候对待难题,要以研究问题的态度去解决问题,不要过分担心花费时间的问题,不要仅仅停留在把题目作出来即可的低层次之上。

 

(七)数学联赛的竞赛内容

奥数仍然是属于数学这一门学科,也有和我们平时所学的课堂上的数学相联系的部分,是课堂内容的深化和提高;但是奥数中更多的是和课堂上的数学看起来不沾边的内容,那么这部分内容究竟是什么,又来自于哪里呢?

数学的范围是极其广泛的,世界上最权威的分类法大概把数学分成了几十个大类,一百多个小类。我们从小学高年级的一元一次方程开始算起,一直到高中毕业,在七、八年的时间里,所涉及的数学类别也就是平面几何、三角函数、线性方程(组)、解析几何、立体几何、集合论、不等式、数列等等。作为数学教育,当然应该以这些内容为主,因为它们是数学的核心方法和领域,但是这些内容就是连初等数学的范畴也没有完全覆盖。

 

附:高中数学竞赛大纲(修订稿)

    普及的基础上不断提高的方针指引下,全国数学竞赛活动方兴未艾,特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩,使广大中小学师生和数学工作者为之振奋,热忱不断高涨,数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展,应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。

    本大纲是在国家教委制定的全日制中学数学教学大纲的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出:要培养学生对数学的兴趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。具体作法是:对学有余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发展他们的数学才能要重视能力的培养......,着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时,要重视培养学生的独立思考和自学的能力

    《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力,特别是方法与技巧掌握的熟练程度,有更高的要求。而课堂教学为主,课外活动为辅是必须遵循的原则。因此,本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况,分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,并且要贯彻少而精的原则,这样才能加强基础,不断提高。

 

一试

    全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。

二试

1、平面几何

基本要求:掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。

几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。几何中的运动:反射、平移、旋转。复数方法、向量方法。平面凸集、凸包及应用。 简单的等周问题,了解下述定理: 在周长一定的n边形的集合中,正n边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的n边形的集合中,正n边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。

2、代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求n次迭代,简单的函数方程。n个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 复数的指数形式,欧拉公式,棣莫佛定理,单位根,单位根的应用。圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式。 一元n次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质。

3、立体几何

多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何

直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 圆的幂和根轴。

5、其它

抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。

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招贤纳士

《数学时空》杂志征稿启事暨招贤公告

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同学们,高中数学的美丽画卷已在我们面前徐徐展开。数学美好,需要我们用慧眼发现;数学有用,需要我们用心感知;数学严谨,益于培养我们的思维品质。为了给同学们提供数学发展的无限空间,在数学组老师的共同努力下,

山东省实验中学的第一本数学杂志----《数学时空》即将诞生!

现面向师生征集各栏目稿件,同时招聘学生编辑,希望大家热情参与。

一、主要栏目征稿

栏目名称

具体内容

征稿对象

特邀讲座

高屋建瓴,为同学们提出学习数学的好建议。

老师

数学小研究

可以针对你感兴趣的数学内容写小论文;也可根据小编提出的当期话题,展开研究,首期话题:我眼中的“集合”。

同学们

流动红旗

这是一个大舞台,用于展示班级里各项轰轰烈烈的数学活动,望提供生动详实的图片、文字材料。

老师、同学

成长笔记

数学学习感悟,方法分享,解题心得,错题总结,

研究发现……凡是心有所想,皆可付诸笔端。

同学们

学法指导

针对当前的学习进度,为同学们提供重点难点分析、

学习方法指导,指点迷津。

老师

你问我答

这是一个竞技场,你可以是裁判,出题,打分;

你亦可是选手,提出正解,夺得桂冠。

老师、同学

迷你考场

针对当前的学习内容,提供一套有意义的数学习题,

可帮助同学们课下自我检测。

老师、同学

数学史话

数学发展的历史有许多精彩的片断,

你都知道些什么,讲给大家听听吧。

老师、同学

数学贴吧

你看到的与数学有关的小故事,了解的数学家,

听到的新闻,想到的小点子,都拿来与大家分享吧。

老师、同学

星光大道

可在此栏目秀出同学们闪亮的风采,也可展示优秀作业,望提供图片、文字材料,可以自荐,也可他荐。

老师、同学

数字迪士尼

把你喜欢的小游戏拿来与同学们分享吧,

游戏天地,轻松一刻。

老师、同学

:来稿格式不限,请将成稿以附件形式发送至电子邮箱shuxueshikong@126.com,并注明姓名、班级,来稿截至每周一。

二、招聘学生编辑

现拟招聘八名编辑人员。要求:高一学生,热爱数学,熟悉计算机基本操作,具备一定文字功底,富于团队精神,学有余力。有类似编辑经验者优先。请到数学任课老师处报名。

----也许你长于思考,喜欢开动脑筋解决问题;也许你爱好文学,常常动笔抒发感悟;也许你有那么点儿惧怕数学,渴望与数学和谐相处;也许你有很多疑问,希望找到最佳答案;也许你哈韩哈日,不妨来做哈数一族;也许你热衷社团活动,这里将是你的一片天地……

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山东省实验中学《数学时空》编辑部

200893

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编辑部的故事

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